ÁLGEBRA

Factorización de Polinomios

La factorización o descomposición factorial es el proceso de presentar una expresión matemática o un número en forma de multiplicación. Recordemos que los factores son los elementos de la multiplicación y el resultado se conoce como producto.

Tipos de factorización

En líneas generales, podemos hablar de dos tipos de factorización: la factorización de números enteros y la factorización de expresiones algebraicas.

Factorización en números primos

Todo número entero se puede descomponer en sus factores primos. Un número primo es aquel que es divisible unicamente entre 1 y el mismo. Por ejemplo, el 2 solo se puede dividir entre 1 y 2.

Podemos descomponer un número dado X como la multiplicación de sus factores primos. Por ejemplo, el número 525 es igual a la multiplicación de 5².3.7.

Factorización de expresiones algebraicas

El objetivo de la factorización es llevar un polinomio complicado y expresarlo como el producto de sus factores polinomiales simples.

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión. Por ejemplo:

Los factores son:

Cómo factorizar

Cuando hablamos de factorizar, podemos seguir las siguientes recomendaciones:

1. Observar si hay un factor común, esto es, si hay un factor que se repita en los diferentes términos.
2. Ordenar la expresión: a veces al arreglar la expresión nos percatamos de las posibilidades de factorización.
3. Averiguar si la expresión es factorizable: en ocasiones estamos en presencia de expresiones que no pueden ser descompuestas en factores.
4. Verificar si los factores hallados son a su vez factorizables.

Pasos para hallar el factor común de un polinomio

Vamos a explicar paso a paso cómo encontrar el factor común para los términos en el siguiente polinomio:

Paso 1

Conseguimos el mayor factor común de 24 y 16. Los factores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24; los factores del 16 son 1, 2, 4, 8 y 16. El mayor factor común es el 8.

Paso 2

Conseguimos los factores comunes de las variables, en este caso las variables comunes con la mayor potencia común. La variables comunes son x y y. La mayor potencia común de x es x⁶ y la mayor potencia común de y es y³.

Paso 3

Escribimos el factor común del polinomio como como el producto de los pasos 1 y 2 anteriores:

Factorización de polinomios

Vamos a factorizar el siguiente polinomio:

Paso 1

Determinamos el factor común del polinomio:

Paso 2

Reescribimos cada término del polinomio como un producto equivalente del factor común y el segundo factor:

Nota: 8x⁶y³(3x²)- 8x⁶y³(2y⁴z³) no es la forma factorizada porque aún no están separados los factores.

Paso 3

Usamos la propiedad distributiva para sacar el factor común:

Paso 4

Revisamos los pasos realizados:

Factorización cuatro términos

Podemos factorizar un polinomio de cuatro términos agrupándolos en pares. Veamos el siguiente ejemplo:

Paso 1

Rearreglamos los términos tal que los dos primeros tengan un factor común y los otros dos tengan también un factor común:

Paso 2

Factorizamos la x del primer término y la y como factor común del segundo término:

Paso 3

Usamos la propiedad distributiva para factorizar el término (a+b) de la expresión:

Factorizar una ecuación cuadrática

Cuando tenemos un polinomio de tres términos, este puede ser un trinomio cuadrático de la forma ax²+bx+c. Esta expresión se obtiene de la multiplicación de dos binomios:

Al factorizar una ecuación cuadrática como x²+9x+14, lo que queremos es conseguir los dos binomios que lo originaron: (x+7)(x+2).

Factorizar una ecuación cuadrática por ensayo y error

Para la expresión 4x²-11x-3 buscamos dos factores binomios. 4x² es el primer término, asi que la multiplicación de los primeros coeficientes numéricos de los binomios debe ser 4. El último término es -3, asi los últimos términos de los factores tienen signos diferentes cuyo producto es -3. Podemos probar varias combinaciones:

Esta opción es incorrecta.

Esta opción es incorrecta.

Esta es la opción correcta.

Factorizar una ecuación cuadrática por agrupamiento

Para factorizar por agrupamiento, identificamos los coeficientes a, b y c y buscamos dos factores ac cuya suma es b. Por ejemplo, para la ecuación 4x²-11x-3, los coeficientes son a=4, b=-11 y c=-3.

Los factores ac=(4)(-3)=-12. Dos factores de -12 que sumados dan -11 son -12 y 1.

Ahora reemplazamos el término medio de 4x²-11x-3 con -12x+1x.

Agrupamos los términos en pares y buscamos el factor común:

Aplicamos la propiedad distributiva al factor (x-3):

La forma factorizada queda entonces como:

Factorización de trinomios cuadrados perfectos

Un trinomio cuadrado perfecto es aquel donde el valor absoluto del coeficiente b es igual al doble del producto de las raíces de a y c:

Por ejemplo, en la ecuación 4x²-20x+25, a=4, b=-20, c=25, entonces:

Esto indica que 4x²-20x+25 puede factorizarse como el cuadrado de un binomio:

El primer término será la raíz cuadrada de 4x² y el último término es la raíz cuadrada de c:

El signo en el binomio es el mismo del término medio del trinomio.

Factorización de binomios

Los binomios factorizables son:

• la diferencia de dos cuadrados (x²-y²),
• la diferencia de dos cubos (x³-y³) y
• la suma de dos cubos (x³+y³).

La factorización de la diferencia de dos cuadrados (x²-y²) es:

Ejemplo:

La factorización de la diferencia de dos cubos (x³-y³) es:

Ejemplo:

La factorización de la suma de dos cubos (x³+y³) es:

Ejemplo:

Ejercicios de factorización resueltos

1. Factorizar la siguiente expresión:

Paso 1

El factor común es (x-1).

Paso 2

Aplicar la propiedad distributiva al factor (x-1):

2. Factorizar la siguiente expresión:

Paso 1

Tomamos como factor común 25x²y²z

Paso 2

Factorizamos la diferencia de dos cuadrados que es 4x²-1.

Paso 3

La forma factorizada completa es:

3. Factorizar la siguiente expresión:

Paso 1

Esta expresión es una ecuación cuadrática, entonces buscamos por factores binomiales:

Paso 2

Buscamos dos número que multiplicados den -30 y sumados den -7. Probamos con -10 y 3:

Paso 3

La forma factorizada es:

4. Factorizar la siguiente expresión:

Paso 1

Observamos que esta expresión tiene cuatro términos. Los agrupamos en pares de forma que podamos conseguir un factor común:

Paso 2

Factorizamos el binomio cuadrado (x²-1):

Paso 3

La forma factorizada final es:

Expresiones Racionales

¿Qué es una expresión racional?

Un polinomio es una expresión que consiste de una suma de términos que contienen potencias enteras de $x$x, como $3x^2-6x-1$3, x, squared, minus, 6, x, minus, 1.

Una expresión racional es simplemente un cociente de dos polinomios. En otras palabras, es una fracción cuyo numerador y denominador son polinomios.

Estos son ejemplos de expresión racionales:

$\dfrac{1}{x}$start fraction, 1, divided by, x, end fraction, $\quad\dfrac{x+5}{x^2-4x+4}$start fraction, x, plus, 5, divided by, x, squared, minus, 4, x, plus, 4, end fraction, $\quad\dfrac{x(x+1)(2x-3)}{x-6}$start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, minus, 3, right parenthesis, divided by, x, minus, 6, end fraction

Observa que el numerador puede ser una constante, y que los polinomios pueden tener grados variables y formas diversas.

Expresiones racionales y valores no definidos

Considera la expresión racional $\dfrac{2x+3}{x-2}$start fraction, 2, x, plus, 3, divided by, x, minus, 2, end fraction.

Podemos determinar el valor de esta expresión para valores particulares de $x$x. Por ejemplo, evaluemos la expresión para $\blueD{x}=\blueD1$start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 1, end color #11accd.

$\begin{aligned}\dfrac{2(\blueD{1})+3}{\blueD1-2} &= \dfrac{~~5}{-1}\\ \\ &= \goldD{-5} \\ \end{aligned}$

Así, vemos que el valor de la expresión para $\blueD{x}=\blueD{1}$start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 1, end color #11accd es $\goldD{-5}$start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.

Ahora encontremos el valor de la expresión para $\blueD{x}=\blueD{2}$start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd.

$\begin{aligned}\dfrac{2(\blueD{2})+3}{\blueD2-2} &= \dfrac{7}{0}\\ \\ &=\goldD{\text{¡indefinido!}} \\ \end{aligned}$

El valor de entrada $2$2 hace que el denominador sea $0$0. Como la divisón entre $0$0 no está definida, $\blueD x=\blueD 2$start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd ¡no es un valor de entrada posible para esta expresión!

Dominio de expresiones racionales

El dominio de cualquier expresión es el conjunto de todos los valores posibles de entrada.

En el caso de expresiones racionales, podemos utilizar cualquier valor de entrada excepto los que hacen que el denominador sea igual a $0$0 (pues la división entre $0$0 no está definida).

En otras palabras, el dominio de una expresión racional incluye a todos los números reales, excepto aquellos que hacen que el denominador sea cero.

Ejemplo: encontrar el dominio de $\dfrac{x+1}{(x-3)(x+4)}$start fraction, x, plus, 1, divided by, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, end fraction

Encontremos los ceros del denominador para restringir esos valores:

$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle (x-3)(x+4)=0}\\ {\displaystyle }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x-3=0\text{o}x+4=0}& {\displaystyle }& {\displaystyle \text{Propiedad del producto por cero.}}\\ {\displaystyle }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle x=3\text{o}x=-4}& {\displaystyle }& {\displaystyle \text{Despeja }x\text{.}}\end{array}$

 Entonces escribimos que el dominio es todos los números reales, excepto $\textit$y $\textit{-4}$, o simplemente $x\neq 3, -4$x, does not equal, 3, comma, minus, 4

​ 

Expresiones Algebraicas 

 

Una ecuación en matemática se define como una igualdad establecida entre dos expresiones, en la cual pueden haber una o más incógnitas que deben ser resueltas. Normalmente, la incógnita es x. 

La incógnita x representa al número (o números), si existen, que hace que la igualdad sea verdadera. Este número desconocido es la solución de la ecuación. Al cambiar la x por la solución, la igualdad debe ser cierta.

Un tipo de importante de ecuación es la ecuación polinomial de una variable, que puede escribirse de la forma P = 0, donde P es un polinomio en una variable.  El grado del polinomio representa el grado de la ecuación, así por ejemplo las ecuaciones:

6x – 18 = 0 es de primer grado

2x² – 9x + 10 = 0 es de segundo grado

2X³ + 3X² – 2X – 4 = 0 es de tercer grado

y⁴ + 7y² -2 = 0 es de cuarto grado

Ecuaciones Algebraicas de Primer Grado

La ecuación de primer grado o lineal, es una ecuación de la forma:

ax + b = 0

donde a y b son números reales y a ≠  0.  Es el tipo de ecuación más sencillo para resolver y se reconoce por tener la variable o incógnita únicamente elevada a la primera potencia.

Para resolver las ecuaciones de primer grado se debe tener en cuenta las siguientes reglas para modificar ecuaciones:

1. Si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados de una ecuación, sus soluciones no varían.
2. Si se multiplica o divide ambos lados de una ecuación por la misma cantidad diferente de cero, sus soluciones no varían. 

Ejemplo:

Considérese la ecuación:

7x – 4 = 3x + 8

Se transponen términos:

7x – 3x = 8 + 4

Se reducen términos semejantes:

4x = 12

Se despeja a la variable “x”: El coeficiente 4 que esta multiplicando en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.

x = 12÷4

x = 3

Se puede verificar que el valor encontrado efectivamente es la solución de la ecuación. La verificación es la prueba de que valor obtenido para la incógnita es correcto, la misma se realiza sustituyendo dicho valor en la ecuación dada, y si es cierto se convertirá en una identidad; así en el ejemplo anterior, haciendo x = 3 en la ecuación dada, resulta: 

7x – 4 = 3x + 8

7x – 4 = 3x + 8

7(3) – 4 = 3(3) + 8

21 – 4 = 9 + 8

17 = 17

Lo cual es cierto, por lo tanto la solución para la ecuación si es x = 3

Ejercicios con solución:

Consigue el conjunto de soluciones para las siguientes ecuaciones:

1) 5y + 6y – 81 = 7y + 102 + 65y

2) (5 – 3x) – (-4x + 6) = (8x + 11) – (3x – 6)

3) 2(t – 5) = 3 – (t + 4)

4) 4x – (2x + 3)(3x – 5) = 49 – (6x -1)(x – 2)

5) x – {5 + 3x – [5x – (x + 6)]} = -3

6) 5b(x + 5b) = 2b(2b – x) 

Solución:

1) 5y + 6y – 81 = 7y + 102 + 65y

Se transponen términos. Los términos (7y) y (5y) del segundo miembro se pasan al primer miembro cambiando de signo. El número (-81) del primer miembro se pasa al segundo miembro cambiando de signo.

5y + 6y -7y – 65y = 102 + 81

Se reducen términos semejantes: Se suman o restan los coeficientes de “y” en el primer miembro y se suman los números del segundo miembro.

-61y = 183

Como el coeficiente de la variable “y” es negativo se multiplica por (-1) a los dos miembros de la ecuación:

61y = -183

Se despeja a la variable “y”: El coeficiente 61 que esta multiplicando a la variable “y” en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro

y = -183÷61

y = -3

2) (5 – 3x) – (-4x + 6) = (8x + 11) – (3x – 6)

Se eliminan parentesís aplicando la propiedad distributiva:

5 – 3x + 4x – 6 = 8x + 11 – 3x + 6

Se transponen términos: Los términos 8x y (-3x) del segundo miembro se pasan al primer miembro cambiando de signo. Los números 5 y (-6) del primer miembro se pasan al segundo miembro cambiando de signo.

– 3x + 4x – 8x + 3x = 11 + 6 – 5 + 6

Se reducen términos semejantes: Se suman o restan los coeficientes de “x” en el primer miembro y se suman o restan los números del segundo miembro.

-4x = 18

Se multiplica por (-1) a los dos miembros de la ecuación:

4x = -18

Se despeja a la variable “x”: El coeficiente 4 que esta multiplicando a la variable “x” en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.

3) 2(t – 5) = 3 – (t + 4)

Se eliminan parentesís aplicando la propiedad distributiva:

2t – 10 = 3 – t – 4

Se transponen términos : El términos (-t) del segundo miembro se pasan al primer miembro cambiando de signo. El número (-10) del primer miembro se pasa al segundo miembro cambiando de signo.

2t + t = 3 – 4 + 10

Se reducen términos semejantes: Se suman los coeficientes de “x” en el primer miembro y se suman o restan los números del segundo miembro.

3t = 9

Se despeja a la variable “t”: El coeficiente 3 que esta multiplicando a la variable “t” en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.

t = 9 ÷ 3

t = 3

4) 4x – (2x + 3)(3x – 5) = 49 – (6x -1)(x – 2)

Se eliminan paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

4x – (2x.3x – 2x.5 + 3.3x – 3.5) = 49 – (6x.x – 6x.2 -1.x + 1.2)

4x – (6x² – 10x + 9x -15) = 49 – (6x² – 12x – x + 2)

4x – 6x² +10x – 9x + 15 = 49 – 6x² + 12x + x – 2

Se agrupan términos semejantes en cada miembro:

– 6x² + (4x + 10x – 9x) + 15 = – 6x² + (12x +x ) – 2

Se reducen términos semejantes en cada miembro:

-6x² + 5x + 15 = -6x² + 13x + 47

Se transponen términos: Los términos (-6x²) y 13x del segundo miembro se pasan al primer miembro cambiando de signo. El número 15 del primer miembro se pasa al segundo miembro cambiando de signo.

-6x² + 6x² + 5x – 13x = 47 – 15

Se reducen términos semejantes : Se restan los coeficientes de “x²” , se restan los coeficientes de “x” en el primer miembro y se restan los números del segundo miembro.

-8x = 32

Se multiplica por (-1) a los dos miembros de la ecuación:

8x = -32

Se despeja a la variable “x”: El coeficiente 8 que esta multiplicando a la variable “x” en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.

x = -32 ÷ 8

x = -4

5) x – {5 + 3x – [5x – (x + 6)]} = -3

Se eliminan los paréntesis: El signo negativo que precede(esta antes de) al paréntesis le cambia el signo a todos los términos que se encuentran dentro del mismo.

x – {5 + 3x – [5x – x – 6]} = -3

Se eliminan los corchetes: El signo negativo que precede al corchete le cambia el signo a todos los términos que se encuentran dentro del mismo.

x – {5 + 3x – 5x + x + 6} = -3

Se eliminan las llaves: El signo negativo que precede a la llave le cambia el signo a todos los términos que se encuentran dentro de la misma.

x – 5 – 3x + 5x – x – 6 = -3

Se agrupan términos semejantes en el primer miembro:

(x – 3x + 5x – x) + (- 6 – 5) = -3

Se reducen términos semejantes en el primer miembro: Se suman o restan los coeficientes de “x” y se suman los números en el primer miembro.

2x – 11 = -3

Se transponen términos:

2x = -3 + 11

Se reducen términos semejantes en el segundo miembro: Se restan los números en el segundo miembro.

2x = 8

Se despeja a la variable “x”: El coeficiente 2 que esta multiplicando a la variable “x” en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.

x = 8 ÷ 2

x = 4

6) 5b(x + 5b) = 2b(2b – x)

Se eliminan paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

5b.x + 5b.5b = 2b.2b – 2b.x

5bx + 25b² = 4b² – 2bx

Se transponen términos: El término (-2bx) del segundo miembro pasa al primer miembro cambiando de signo. El término 25b² del primer miembro se pasa al segundo miembro cambiando de signo.

5bx + 2bx = 4b² – 25b²

Se reducen términos semejantes : Se suman los coeficientes de “x” en el primer miembro, se restan los coeficientes de “b²” en el segundo miembro.

7bx = -21b²

Se despeja a la variable “x”: El coeficiente 7b que esta multiplicando a la variable “x” en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.

x = -21b² ÷ 7b

Se divide 21÷7 y se aplica división de potencias de igual base (b²÷b):

x = -3b

Se halla el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de la ecuación:

m.c.m.(2,3,4 y 5) = 60

El m.c.m. se multiplica por todos los términos de la ecuación:

El m.c.m. se divide por cada denominador y el cociente de esa división(resultado) se multiplica por el numerador respectivo.

En el primer término del primer miembro: 60 ÷ 2 = 30, el cociente de esa división que es 30 se multiplica por el numerador respectivo, quedando 30.(x-1).

En el segundo término del primer miembro: 60 ÷3 = 20, el cociente de esa división que es 20 se multiplica por el numerador respectivo, quedando 20.(x-2).

En el tercer término del primer miembro: 60 ÷4 = 15, el cociente de esa división que es 15 se multiplica por el numerador respectivo, quedando 15.(x-3).

En el primer término del segundo miembro: 60 ÷ 5 = 12, el cociente de esa división que es 12 se multiplica por el numerador respectivo, quedando 12.(x-5).

30(x – 1) – 20(x – 2) – 15(x – 3) = 12 (x – 5)

Se eliminan paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

30.x – 30.1 -20.x + 20.2 -15.x + 15.3 = 12.x – 12.5

30x – 30 – 20x + 40 – 15x + 45 = -12x + 60

Se agrupan términos semejantes en el primer miembro:

(30x – 20x -15x) + ( -30 + 40 + 45) = -12x + 60

Se reducen términos semejantes en el primer miembro: Se suman o restan los coeficientes de “x” , se suman y restan los números en el primer miembro.

-5x + 55 = -12x + 60

Se transponen términos: El término (-12x) del segundo miembro pasa al primer miembro cambiando de signo. El término 55 del primer miembro se pasa al segundo miembro cambiando de signo.

-5x + 12x = 60 – 55

Se reducen términos semejantes: Se restan los coeficientes de “x” en el primer miembro y se restan los números en el segundo miembro.

7x = 5

Se despeja a la variable “x”: El coeficiente 7 que esta multiplicando a la variable “x” en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.

;

Se halla el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de la ecuación:

m.c.m.(6 y 4) = 12

El m.c.m. se divide por cada denominador y el cociente de esa división(resultado) se multiplica por el numerador respectivo.

En el primer término del primer miembro: 12 ÷ 1 = 12, el cociente de esa división que es 12 se multiplica por el numerador respectivo, quedando 12.4=48.

En el segundo término del primer miembro: 12 ÷ 6 = 2, el cociente de esa división que es 2 se multiplica por el numerador respectivo, quedando –2.(10x+1).

En el primer término del segundo miembro: 12 ÷ 1 = 12, el cociente de esa división que es 12 se multiplica por el numerador respectivo, quedando 12.4x=48x.

En el segundo término del segundo miembro: 12 ÷ 4 = 3, el cociente de esa división que es 15 se multiplica por el numerador respectivo, quedando –3.(16x+3).

48 – 2(10x + 1) = 48x – 3(16x + 3)

Se eliminan paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

48 – 2.10x – 2.1 = 48x – 3.16x – 3.3

48 – 20x – 2 = 48x – 48x – 9

Se agrupan términos semejantes:

-20x + (48 -2) = (48x – 48x) – 9

Se reducen términos semejantes: Se restan los números del primer miembro y se restan los coeficientes de la variable “x” en el segundo miembro.

-20x + 46 = – 9

Se transponen términos: El número 46 del primer miembro pasa al segundo miembro cambiando de signo.

-20x = – 9 – 46

Se reducen términos semejantes en el segundo miembro: Se suman los números del segundo miembro, recuerda que signos iguales se suman y se copia el mismo signo.

-20x = -55

Se multiplica por (-1) a los dos miembros de la ecuación:

20x = 55

Se despeja a la variable “x”: El coeficiente 20 que esta multiplicando a la variable “x” en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.

Para simplificar la fracción se divide por 5 el numerador y el denominador.

Ecuaciones algebraicas de segundo grado

La ecuación de segundo grado o cuadrática, es una ecuación de la forma:

ax² + bx + c = 0

donde a, b  y  c son números reales y a ≠ 0. Este tipo de ecuación se reconoce por tener la variable o incógnita  elevada al cuadrado.

Una ecuación cuadrática tiene como máximo  tres términos, es decir existen ecuaciones de segundo grado con uno, dos o tres términos. Debido a esto, existen cuatro formas de encontrar ecuaciones de segundo grado en función de sus términos, las cuales son:

1) b = 0  y  c = 0    ⇒    ax² = 0

2) b = 0  y  c ≠ 0    ⇒    ax² + c = 0

3) b ≠ 0  y  c = 0    ⇒    ax² + bx = 0

4) b ≠ 0  y  c ≠ 0    ⇒    ax² + bx + c = 0

Estudiando caso por caso, se tiene:

Primer caso: dada la ecuación ax² + bx + c = 0, con bx = 0 y c = 0, entonces ax² = 0; la solución es trivial ya que único numero que la satisface es x = 0.

Ejemplos:

1) 3x² = 0

2) 15x² = 0

3) -3x² = 0

Segundo caso: dada la ecuación ax² + bx + c = 0, con bx = 0 y c ≠ 0, entonces ax² + c = 0. En cuanto a y c existen dos posibilidades, que son:

1) a y c tienen igual signo

En este caso la solución pertenece a los números irracionales, y es:

2) a y c tienen distinto signo

En este caso la solución pertenece a los números reales, y es:

Ejemplos:

1) 4x² – 16 = 0

Se transponen términos:

4x² = 16

El coeficiente “4” que esta multiplicando en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro:

x² = 16 ÷ 4

x² = 4

Se despeja a la variable “x”, como esta elevada al cuadrado, para realizar el despeje se aplica la raíz cuadrada en el segundo miembro de la ecuación. Luego hay que preguntarnos ¿Cuales números elevados al cuadrado dan 4? La respuesta es 2, y recordando que cualquier número elevado al cuadrado da positivo, entonces la solución a la ecuación es:

x = ± 2

x = 2 ∨ x = -2

El conjunto solucion es: {-2, 2}

Nota: El símbolo ∨ es el operador matemático para “o”.

2) 5 – 3x² = 0

Se transponen términos:

3x² = 5

El coeficiente “3” que esta multiplicando en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro:

Luego hay que preguntarnos ¿Cuales números elevados al cuadrado dan 5/3? Simplemente la raíz cuadrada de 5/3, y recordando que cualquier número elevado al cuadrado da positivo, entonces la solución a la ecuación es el conjunto:

ya que la ecuación tiene dos valores que la satisfacen:

Tercer caso: dada la ecuación ax² + bx + c = 0, con bx ≠ 0 y c = 0, entonces ax² + bx = 0. La solución de esta ecuación es de fácil comprensión, factorizandola resulta:

ax² + bx = 0   ⇒   x(ax + b) = 0

Y para que el producto de dos factores valga 0, es necesario que uno de ellos valga 0, por lo tanto x = 0 ∨ ax + b = 0.

La primera solución es x = 0 y la segunda se obtiene de resolver la ecuación de primer grado ax + b = 0, el término b que es positivo en el primer miembro pasa negativo al segundo miembro. El coeficiente a que esta multiplicando a la variable “x” en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.

Ejemplos:

1) 9x² + 36x = 0

Se factoriza el factor común “x”:

x(9x + 36) = 0

Se igualan ambos factores a “0”:

x = 0   ∨  9x + 36 =0

Las soluciones son:

x = 0   y   x = -4

2) 5x² – 19x = 0

Se factoriza el factor común “x”:

x(5x – 19) = 0

Se igualan ambos factores a “0”:

x = 0   ∨  5x -19 = 0

Las soluciones son:

Cuarto caso: dada la ecuación ax² + bx + c = 0, con bx ≠ 0 y c ≠ 0, entonces ax² + bx + c = 0. Para resolver este tipo de ecuaciones se requiere de un estudio especial, el cual explicaremos a continuación.

Sea ax² + bx + c = 0, se resolverá esta ecuación para x en términos de a, b y c, por medio de la formula cuadrática (resolvente) sustituyendo los valores de a, b y c en la fórmula:

Ejemplos:

1) 6x² – 11x – 10 = 0

Sustituyendo a = 6, b= -11 y c= -10 en la formula:

El conjunto de las soluciones es:

2) 4x² – 4x + 1 = 0

Esta expresión es un trinomio cuadrado perfecto, por lo que la solución se facilita factorizando:

(2x – 1)² = 0

Finalmente, se mostrara como obtener información acerca del carácter de las raíces de una ecuación cuadrática sin tener que resolverla. En la formula cuadrática la cantidad subradical b² – 4ac = 0 recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. El carácter de las raíces puede determinarse obteniendo el valor de la discriminante, por los que:

1.- Si b² – 4ac = 0, la ecuación tiene dos raíces reales e iguales; es decir tiene una raíz doble.

2.- Si b² – 4ac > 0, la ecuación tiene dos raíces reales y diferentes.

3.- Si b² – 4ac < 0, la ecuación no tiene solución real; las raíces son imaginarias y diferentes; son complejos conjugados entre si.

Ejemplos:

1) 4x² – 4x + 1 = 0

b² – 4ac = (-4)² – 4.4.1 = 16 – 16 = 0

Presenta una raíz doble, como se demostró en el ejercicio anterior cuando se resolvió y se encontró que la solución es una raíz doble.

2) x² – 11x + 10 = 0

b² – 4ac = (-11)² – 4.10.1 = 121 – 40 = 61 > 0

La ecuación tiene dos raíces reales y diferentes.

Ecuaciones racionales que conducen a ecuaciones de primer y segundo grado

Una ecuación racional es aquella en la que aparecen términos que son expresiones racionales, como:

Ejemplos:

Se halla el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de la ecuación:

m.c.m.(5, 3x y x) = 15x

El m.c.m. se multiplica por todos los términos de la ecuación:

El m.c.m. se divide por cada denominador y el cociente de esa división(resultado) se multiplica por el numerador respectivo.

En el primer término del primer miembro: 15x ÷ 5 = 3x, el cociente de esa división que es 3x se multiplica por el numerador respectivo, quedando 3x.3=9x.

En el segundo término del primer miembro: 15x ÷ 3x = 5, el cociente de esa división que es 5 se multiplica por el numerador respectivo, quedando 5.1=5.

En el primer término del segundo miembro: 15x ÷ x = 15, el cociente de esa división que es 15 se multiplica por el numerador respectivo, quedando 15.3=45.

9x + 5 = 45

Se transponen términos:

9x = 45 – 5

Se reducen términos semejantes: Se restan los números del segundo miembro.

9x = 40

El coeficiente “9” que esta multiplicando en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro:

Nota: siempre que resuelvas una ecuación racional debes comprobar que el resultado satisface a la ecuación.

Comprobación:

x=40/9 satisface la ecuación

Se halla el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de la ecuación:

m.c.m.((2 – y); (y+4)) = (2 – y).(y + 4)

El m.c.m. se multiplica por todos los términos de la ecuación:

Se eliminan los factores comunes en cada uno de los términos: En el primer término el factor (2-y) del numerador se simplifica con el factor 2-y del denominador. En el segundo término el factor (y+4) del numerador se simplifica con el factor y+4 del denominador.

y + 4 + 2.(2 – y) = 0

Se elimina el paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

y + 4 + 2.2 – 2.y = 0

y + 4 + 4 – 2y = 0

Se agrupan términos semejantes:

(y – 2y) + (4 + 4) = 0

– y + 8 = 0

Se transponen términos:

8 = y

y = 8

Comprobación:

y=8 satisface la ecuación

Se factoriza la diferencia de cuadrados ubicada en el segundo término del segundo miembro.

Se halla el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de la ecuación:

m.c.m.(3x – 1 , 3x + 1) = (3x+1)(3x-1)

El m.c.m. se multiplica por todos los términos de la ecuación:

Se eliminan los factores comunes en cada uno de los términos: En el primer miembro el factor (3x-1) del numerador se simplifica con el factor 3x-1 del denominador. En el primer término del segundo miembro el factor (3x+1) del numerador se simplifica con el factor 3x+1 del denominador. En el segundo término del segundo miembro los factores (3x+1)(3x-1) del numerador se simplifican con los factores (3x+1)(3x-1) del denominador.

3x + 1 = 3.(3x – 1) + x – 2

Se elimina el paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

3x + 1 = 3.3x – 3.1 + x – 2

3x + 1 = 9x – 3 + x – 2

Se transponen términos: Los términos 9x y x del segundo miembro pasan al primer miembro cambiando de signo. El número 1 del primer miembro pasa al segundo miembro cambiando de signo.

3x – 9x -x = – 3 – 2 – 1

Se reducen términos semejantes: En el primer miembro se suman o restan los coeficientes de la variable “x”. En el segundo miembro se suman los tres números.

-7x = -6

Se multiplica por (-1) a los dos miembros de la ecuación:

7x = 6

Se despeja a la variable “x”: El coeficiente “7” que esta multiplicando en el primer miembro pasa a dividir al segundo miembro.

Comprobación:

El valor obtenido no satisface la ecuación, por lo tanto la solución es vacío {Ø}.

Se factoriza el factor común “x” en el denominador del segundo miembro:

Se halla el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de la ecuación:

m.c.m.(x + 2 , x.(x+2)) = x.(x+2)

El m.c.m. se multiplica por todos los términos de la ecuación:

Se eliminan los factores comunes en cada uno de los términos: En el primer miembro el factor (x+2) del numerador se simplifica con el factor x+2 del denominador. En el segundo miembro los factores x(x+2) del numerador se simplifican con los factores x(x+2) del denominador.

(3x – 2).x = 5

Se elimina el paréntesis aplicando la propiedad distributiva:

3x.x – 2x – 5 = 0

x² – 2x – 5 = 0

Se aplica la resolvente, sustituyendo a = 1, b= -2 y c= -5 en la fórmula:

Comprobación:

Para x = 5/3

La solución satisface a la ecuación.

Para x = -1

La solución satisface a la ecuación.

El conjunto de soluciones es:

Ecuaciones Irracionales

Una ecuación racional es aquella que tiene una o mas incógnitas, bajo el signo radical.

Para resolver una ecuación irracional se debe tener en cuenta lo siguiente: si A y B son dos expresiones algebraicas, entonces A = B es una ecuación algebraica y su conjunto de soluciones es subconjunto de soluciones de la ecuación Aⁿ = Bⁿ donde n es cualquier entero positivo.

Por ejemplo, en el caso de la ecuación: x = 10 se tiene por conjunto de soluciones {10}. Si se eleva al cuadrado ambos lados se obtiene: x² = 100,  que tiene por conjunto de soluciones {±10}. Por lo tanto, el conjunto solución de la primera ecuación es subconjunto del conjunto de soluciones de la segunda.

Ejemplos:

Se transponen términos:

Se elevan al cuadrado ambos ambos miembros de la ecuación:

Se eliminan los paréntesis. En el primer miembro se simplifica la raíz con la potencia cuadrada, en el segundo miembro se aplica la fórmula de binomio cuadrado (a-b)² = a² – 2.a.b + b².

x + 5 = 7² – 2.7.x + x²

x + 5 = 49 – 14x + x²

x² – 14x + 49 = x + 5

Se transponen términos: El término x del segundo miembro pasa al primer miembro cambiando de signo. El número 5 del segundo miembro pasa al primer miembro cambiando de signo.

x² – 14x -x + 49 – 5 = 0

Se agrupan términos semejantes:

x² + (- 14x – x) + (49 – 5) = 0

x² – 15x + 44 = 0

Se factoriza la ecuación, se aplica factorización de un trinomio de la forma x² + bx +c. Si deseas repasar o reforzar este caso de factorización te recomiendo estudiar el siguiente video:

Factorización de un trinomio de la forma x² +bx+c

(x – 4).(x – 11) = 0

Se igualan ambos factores a “cero”:

x – 4 = 0 → x = 4

x – 11 = 0 → x = 11

x = 4 ∨ x = 11

Comprobación:

Para x = 4

La solución satisface a la ecuación.

Para x = 11

Esto es falso, por lo tanto no satisface a la ecuación y se le denomina solución extraña. En consecuencia el conjunto de soluciones es {4}.

Se transponen términos:

Se elevan al cuadrado ambos ambos miembros de la ecuación:

Se eliminan los paréntesis. En el primer miembro se simplifica la raíz con la potencia cuadrada, en el segundo miembro se aplica la fórmula de binomio cuadrado (a+b)² = a² + 2.a.b + b².

Se transponen términos: El término z del primer miembro pasa al segundo miembro cambiando de signo. El término 1 del segundo miembro pasa al primer miembro cambiando de signo.

Se reducen términos semejantes: En el primer miembro se resta 5 – 1, en el segundo miembro se restan los coeficientes de la variable “z”.

Se elevan al cuadrado ambos ambos miembros de la ecuación:

16 = 4z

4z = 16

El coeficiente “4” que esta multiplicando a la variable “z” pasa a dividir al otro miembro:

z = 16 ÷ 4

z = 4

Comprobación:

z=4 satisface la ecuación

Ejercicios  

1) 1 – 3(2x – 4) = 4(6 – x) – 8 

2) 10(m – 9) – 9(5 – 6m) = 2(4m – 1) + 5(2m + 1) 

3) 16y – [3y – (6 – 9y)] = 30y + [- (3y + 2) – (y + 3)] 

4) (4 – 5x).(4x – 5) = (10x – 3).(7 – 2x) 

5) x² – 3x + 10 = 0 

6) 25x² + 2 = 15x

 

 

Ecuaciones 2x2 y 3x3

 

 

 

 

 

  

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

  

  

 

 

Logarítmo

Los logaritmos son otra manera de pensar en exponentes.

Por ejemplo, sabemos que $\blueD2$start color #11accd, 2, end color #11accd elevado a la $\greenE4^\text{a}$start color #0d923f, 4, end color #0d923f, start superscript, start text, a, end text, end superscript potencia es igual a $\goldD{16}$start color #e07d10, 16, end color #e07d10. Esto se expresa con la ecuación exponencial $\blueD2^\greenE4=\goldD{16}$start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10.

Ahora supongamos que nos preguntan: "¿$\blueD2$start color #11accd, 2, end color #11accd elevado a qué potencia es igual a $\goldD{16}$start color #e07d10, 16, end color #e07d10?" La respuesta sería: $\greenE4$start color #0d923f, 4, end color #0d923f. Esto se expresa con la ecuación logarítmica $\log_\blueD2(\goldD{16})=\greenE4$log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f (y se lee como "log base dos de dieciseis es cuatro").

$\blueD2^\greenE4=\goldD{16}\quad\iff\quad\log_\blueD2(\goldD{16})=\greenE4$start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, \Longleftrightarrow, log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f

Ambas ecuaciones describen la misma relación entre los números $\blueD2$start color #11accd, 2, end color #11accd, $\greenE4$start color #0d923f, 4, end color #0d923f, y $\goldD{16}$start color #e07d10, 16, end color #e07d10; donde $\blueD2$start color #11accd, 2, end color #11accd es la base y $\greenE4$start color #0d923f, 4, end color #0d923f es el exponente.

La diferencia es que la forma exponencial aísla la potencia $\goldD{16}$start color #e07d10, 16, end color #e07d10, y la forma logarítmica aísla el exponente $\greenD 4$start color #1fab54, 4, end color #1fab54.

He aquí más ejemplos de ecuaciones logarítmicas y exponenciales equivalentes.

Forma logarítmica		Forma exponencial
$\log_\blueD2(\goldD{8})=\greenD3$log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54	$\iff$\Longleftrightarrow	$\blueD2^\greenD3=\goldD8$start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10
$\log_\blueD3(\goldD{81})=\greenD4$log, start base, start color #11accd, 3, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 81, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54	$\iff$\Longleftrightarrow	$\blueD3^\greenD4=\goldD{81}$start color #11accd, 3, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 81, end color #e07d10
$\log_\blueD5(\goldD{25})=\greenD2$log, start base, start color #11accd, 5, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 25, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54	$\iff$\Longleftrightarrow	$\blueD5^\greenD2=\goldD{25}$start color #11accd, 5, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 25, end color #e07d10

Definición de un logaritmo

Al generalizar los ejemplos anteriores obtenemos la definición formal de un logaritmo.

$\log_\blueD b(\goldD a)=\greenD c\quad \iff\quad \blueD b^\greenD c=\goldD a$log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, c, end color #1fab54, \Longleftrightarrow, start color #11accd, b, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, c, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, a, end color #e07d10

Ambas ecuaciones describen la misma relación entre $\goldD a$start color #e07d10, a, end color #e07d10, $\blueD b$start color #11accd, b, end color #11accd, y $\greenE c$start color #0d923f, c, end color #0d923f:

• $\blueD b$start color #11accd, b, end color #11accd es la $\blueD{\text{base}}$start color #11accd, start text, b, a, s, e, end text, end color #11accd,
• $\greenE c$start color #0d923f, c, end color #0d923f es el $\greenE{\text{exponente}}$start color #0d923f, start text, e, x, p, o, n, e, n, t, e, end text, end color #0d923f, y
• $\goldD a$start color #e07d10, a, end color #e07d10 es el $\goldD{\text{valor de entrada}}$start color #e07d10, start text, v, a, l, o, r, space, d, e, space, e, n, t, r, a, d, a, end text, end color #e07d10.

Una observación útil

Al reescribir una ecuación exponencial en forma de log, o una ecuación de log en forma exponencial, es útil recordar que la base del logaritmo es la misma que la base del exponente. 

 

Restricciones en las variables

$\log_b(a)$log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis está definido cuando la base $b$b es positiva y diferente de $1$1, y el argumento o valor de entrada $a$a es positivo. Estas restricciones son resultado de la conexión entre logaritmos y exponentes:

Restricción	Razonamiento
$b>0$b, is greater than, 0	En una función exponencial la base $b$b debe ser positiva, por definición.
$a>0$a, is greater than, 0	$\log_b(a)=c$log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, c significa que $b^c=a$b, start superscript, c, end superscript, equals, a. Como un número positivo elevado a cualquier potencia es positivo, o sea $b^c>0$b, start superscript, c, end superscript, is greater than, 0, tenemos que $a>0$a, is greater than, 0.
$b\neq1$b, does not equal, 1	Supongamos por un momento que $b$b pudiera ser $1$1. Consideremos ahora la ecuación $\log_1(3)=x$log, start base, 1, end base, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, x. La forma exponencial equivalente sería $1^x=3$1, start superscript, x, end superscript, equals, 3. Pero esto nunca puede ser verdadero, pues $1$1 elevado a cualquier potencia es siempre $1$1. Así, tenemos que $b\neq1$b, does not equal, 1.

Logaritmos especiales

Aunque la base de un logaritmo puede ser una de muchos valores, hay dos bases que se utilizan más que las demás.

Específicamente, la mayoría de las calculadoras tienen botones para estos dos tipos de logaritmos. Veamos cuáles.

El logaritmo común

El logaritmo común es un logaritmo cuya base es $10$10 ("logaritmo base $10$10").

Al escribir estos logaritmos matemáticamente omitimos la base. Se entiende que es $10$10.

$\log_{10}{(x)}=\log(x)$log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, log, left parenthesis, x, right parenthesis

El logaritmo natural

El logaritmo natural es un logaritmo cuya base es $e$e ("logaritmo base $e$e").

¿Qué es?

En lugar de escribir la base $e$e, indicamos este logaritmo como $\ln$natural log.

$\log_e(x)=\ln(x)$log, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis

Esta tabla resume lo que necesitamos saber acerca de estos dos logaritmos especiales:  

Nombre	Base	Notación usual	Notación especial
Logaritmo común	$10$10	$\log_{10}(x)$log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesis	$\log(x)$log, left parenthesis, x, right parenthesis
Logaritmo natural	$e$e	$\log_e(x)$log, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesis	$\ln(x)$

 

 

 Inecuaciones

Una inecuación es una expresión de la forma: f(x) < g(x), f(x) <= g(x), f(x) > g(x) o f(x)>= g(x).

La resolución de las inecuaciones es muy parecida a la resolución de las ecuaciones.

5x + 6 < 3x - 8
5x - 3x < -8 - 6
2x < -14
x < -7

Todos los valores de x menores que -7 satisfacen la inecuación.

Es muy importante tener en cuenta que si multiplicamos por un numero negativo una inecuación tenemos que cambiar el signo de la desigualdad.

3x > -2
-9x < 6
x < -2/3

Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita.

Se resuelven por separado las inecuaciones y se toman como soluciones los intervalos comunes de las soluciones

5x + 6 < 3x - 8
3x > 2

La solución de la primera ecuación es:

5x - 3x < -8 - 6
2x < -14
x < -7

La solución de la segunda ecuación es:

3x > -2
x < -2/3

La solución del sistema sería x < -7.

 

Inecuaciones de segundo grado.

Se resuelve como una ecuación de segundo grado y se estudian los signos que obtenemos con las soluciones.

x² - 5x + 6 > 0

Las soluciones de la ecuación x² - 5x + 6 = 0 son x = 3 y x = 2. Por lo tanto x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).

Tenemos que estudiar los signos cuando x toma valores desde menos infinito hasta 2, desde 2 hasta 3 y desde 3 hasta infinito .

x - 2 es negativo para los valores entre menos infinito y 2.
x - 2 es positivo para los valores entre 2 y 3.
x - 2 es positivo para los valores entre 3 e infinito.
x - 3 es negativo para los valores entre menos infinito y 2.
x - 3 es negativo para los valores entre 2 y 3.
x - 3 es positivo para los valores entre 3 e infinito.

Por lo tanto, multiplicando los signos en los mismos intervalos:

x² -5x + 6 es positivo para los valores entre menos infinito y 2.
x² - 5x + 6 es negativo para los valores entre 2 y 3.
x² - 5x + 6 es positivo para los valores entre 3 e infinito.

Inecuaciones de grado superior a dos

Se descomponen en inecuaciones de grado uno y dos.

Inecuaciones fraccionarias

Son las inecuaciones en las que tenemos la incógnita en el denominador.

Se pasan todos los términos a un lado del signo de desigualdad y se reducen a común denominador.

Después se buscan las soluciones y estudiamos el signo (como en el caso de las ecuaciones de segundo grado). Hay que tener en cuenta que las soluciones que anulan el denominador no valen.

Inecuaciones con valor absoluto

Se resuelven convirtiendo la función valor absoluto en dos inecuaciones

|x - 3| > 3

conlleva que -3>(x-3)>3, luego

x-3 >3
-3>x-3  

son los puntos mayores que 0 y menores que 6.

 

Bibliografía

-https://www.todamateria.com/factorizacion/

-https://es.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:rational/x2ec2f6f830c9fb89:cancel-common-factor/a/intro-to-rational-expressions

-https://profbaptista.wordpress.com/2009/12/27/ecuaciones-algebraicas/

-file:///C:/Users/57315/Downloads/Sistemas%20de%20Ecuaciones%20Lineales%20y%20Determinantes.pdf

- https://es.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:logs/x2ec2f6f830c9fb89:log-intro/a/intro-to-logarithms

-http://departamento.us.es/dma1euita/TMRP/inecuaciones.htm