Aritmética

Números Naturales

Los números naturales son aquellos símbolos que nos permiten representar la cantidad de elementos que tiene un conjunto.

Debido a la importancia de este conjunto de números se creó un símbolo especial para identificarlo, usaremos la letra para representar el conjunto de los números naturales; así, cuando veas esta en un libro de matemáticas, o en alguna clase, sabrás a qué se refiere.

¿Te has preguntado cuál es el último número natural?  No hay, sencillamente no existe un número natural que sea más grande que todos los demás, cada vez que pienses en uno, podrás encontrar muchos que sean mayores que él.  Como no terminan nunca, decimos que es un conjunto infinito.

 Números Enteros

Se conoce como números enteros o simplemente enteros al conjunto numérico que contiene a la totalidad de los números naturales, a sus inversos negativos y al cero. Este conjunto numérico se designa mediante la letra Z, proveniente del vocablo alemán zahlen (“números”).

Los números enteros se representan en una recta numérica, teniendo el cero en medio y los números positivos (Z+) hacia la derecha y los negativos (Z-) a la izquierda, ambos lados extendiéndose hasta el infinito. Normalmente se transcriben los negativos con su signo (-), cosa que no hace falta para los positivos, pero puede hacerse para resaltar la diferencia.

Números Racionales

 

Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por .
 

 

 

Números Irracionales

Un número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$, donde ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$ y ${\displaystyle n\neq 0}$^.​ Es cualquier número real que no es racional, y su expresión decimal no es ni exacta ni periódica.

 

Números Reales

Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Se representa con la letra ℜ.

 

                                  Números Complejos

En el Cálculo nos encontramos que ecuaciones como:  x² + 4 = 0, no tienen solución en los dominios de R (conjunto de números reales).  Un modo de superar esta limitación es definir un super-conjunto C que englobe al conjunto R, pero que abarque también a números más generales, los llamados números complejos, que puedan ser soluciones de ecuaciones como la de arriba.

   * Unidad imaginaria: Se define unidad imaginaria, representada por i, como aquel 'número' de C tal que:  i²=-1,  o también expresado (de forma mnemotécnica):

   De esta manera la ecuación  x² + 4 = 0, se solucionaría así:

   *  Número complejo:  La forma general (forma binómica) es:

a + bi

es decir, un número complejo está formado por dos números reales, a y b, llamadas:

          a:   parte real
          b:   parte imaginaria

por ejemplo:  5 - 7 i,  -4 + 8 i, ½ + ¾ i.

   Propiedades de los Números 

Hay cuatro propiedades básicas de los números: conmutativa, asociativa, distributiva, y de identidad.

                                                        

Propiedad Conmutativa

a. Suma. Cuando dos números se suman, la suma es la misma sin importar el orden en el cual los números son sumados.

3 + 5 = 8       ó       5 + 3 = 8

b. Multiplicación. Cuando dos números son multiplicados juntos, el producto es el mismo sin importar el orden de los factores.

3 x 5 = 15       ó       5 x 3 = 15

Propiedad Asociativa

a. Suma. Cuando se suman tres o más números, la suma es la misma sin importar el modo en el que los números son agrupados.

6 + (4 + 3) = 13   ó   (6 + 4) + 3 = 13

b. Multiplicación. Cuando se multiplican tres o más números, el producto es el mismo sin importar la manera en la que se agrupan los números.

6 x (4 x 3) = 72   ó   (6 x 4) x 3 = 72

                                                       

Propiedad Distributiva

La suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número.

5 x (7 + 2) = 45   ó   5 x 7 + 5 x 2 = 45

Propiedad de Identidad

a. Suma. La suma de cualquier número y cero da como resultado el mismo número.

12 + 0 = 12

b. Multiplicación, El producto de cualquier número y uno da como resultado ese mismo número.

18 x 1 = 18

Operaciones con fracciones 

Suma y resta de fracciones

Para sumar o restar fracciones:

• Si las fracciones tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se pone el mismo denominador.
• Si tienen distintos denominadores, primero se reducen a común denominador y luego se procede como en el caso anterior.

Ejemplo: Suma y resta de fracciones

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Calcula:

Multiplicación de fracciones

Para multiplicar fracciones, se pone como numerador, el producro de los numeradores, y como denominador, el producto de los denominadores.

No obstante, es conveniente simplificar los numeradores entre los denominadores antes de efectuar los productos.

Ejemplo: Producto de fracciones

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Calcula:

Inversa de una fracción

Dada una fracción , su inversa es la fracción .

Por ejemplo, la inversa de es .

División de fracciones

Para dividir dos fracciones, se pone como numerador, el producro del primer numerador por el segundo denominador, y como denominador, el producto del primer denominador por el segundo numerador.

No obstante, es conveniente simplificar antes de efectuar los productos.

Ejemplo: Cociente de fracciones

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Calcula:

La fracción como operador

Para calcular una fracción de una cantidad , procedermos multiplicando la fracción por la cantidad :

Ejemplo: La fracción como operador

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De una herencia de 27 millones de euros, María recibe las tres quintas partes, su hermano Ramón, la mitad del resto, y su hermana Matilde, lo que queda.

a) ¿Qué fracción le corresponde a cada uno?

b) Calcula cuánto se lleva cada uno. 

 

 

Potencias

Primero calculamos potencias aplicando la definición de la operación de potenciación, después explicaremos y aplicaremos las siguientes propiedades de las potencias:

 

 

La potencia $a^n$ representa el producto que tiene $n$ veces el número $a$. El número $a$ se llama base y el número $n$

se llama exponente.

Ejemplo: potencias de 2:

 

Por lo que hemos visto, podemos decir:

Dicho en palabras,

• Si la base de una potencia es 1, el resultado es 1.

• Si el exponente de una potencia es 1, el resultado es la base.

• Si el exponente de una potencia es 0 (y la base no es 0), el resultado es 1. 

  Observad que si la base de una potencia es negativa:

• El resultado es positivo si el exponente es par.

• El resultado es negativo si el exponente es impar.

Esto puede resumirse como:

 

Exponente negativo

La potencia de un número distinto de 0 elevado a -1 es igual a su inverso:

La potencia de un número distinto de 0 elevado al número negativo $-n$ es el inverso del número elevado a $n$:

 

Producto y cociente de potencias

El producto de dos potencias con la misma base es la potencia de dicha base y cuyo exponente es la suma de los exponentes:

El cociente de dos potencias con la misma base es la potencia de dicha base y cuyo exponente es la resta de los exponentes:

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia con base $a$ es la potencia con base $a$ y cuyo exponente es el producto de los exponentes:

 

Potencia del producto y del cociente

La potencia de un producto de factores es igual al producto de las potencias de los factores:

La potencia de un cociente de números es igual al cociente de las potencias de los números:

 

Potencia de una fracción con exponente negativo

El resultado de elevar una fracción a -1 es la fracción inversa (intercambiar el numerador y el denominador):

La potencia de una fracción con exponente negativo $-n$

es la potencia del inverso de la fracción con exponente $n$

 

 Ejercicios